SIFAT TRANSFORMASI LINER : KERNEL DAN JANGKAUAN

Pada bagiaan ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear . khususunya, kata memperlihatkan   bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka mungkin mencaari bayangan vektor  yang selabihnya dalam ruang tersebut .

Teorema 1. Jika T:V          W adalah transformasi linear , maka :

a)      T ( 0 ) = 0

b)      T ( - V ) = T (v) untuk semua v di V

c)      T ( v – W ) =  T (v) –T (W) untuk semua v dan w di V

Bukti , misalkan v adalah sebarang vektor di V . Karena 0v = 0 maka kita peroleh

T(0) = T(0v) = 0T(v) =  0

Yang membuktikan (a)

Juga T(-v) = T[(- 1)v] = (- 1) = T (v) –T(v) ,yang  membuktikan  (b) .

T (v –w ) =T(v + ( - 1) w)

                     =T(v) + ( - 1) T(w)

            =T(v) - T(w)

Definisi . jika    T:V          W adalah  transformasi linear , maka himpunan vektor di V yang di petakan  T kedalam  0  kita namakan kernel ( ruang nol ) dari T : himpunan tersebut dinyatakan oleh ( T ) . Himpunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah  T dari  paling sedikit satu vektor di V  kita namakan jangkauan  dari  T : himpunan tersebut dinyatakan oleh  R ( T)  

Teorema 2 . jika  Jika T:V          W adalah transformasi linear , maka :

a     Kernel dari T adalah subruang dari V .

b      Jangkauan  dari T adalah subruang dari W .

Bukti

(a)   Untuk memperlihatkan bahwa ker(T ) adalah subruang , maka kita harus memperlihatkan bahwa ker(T ) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar . Misalkan v₁ dan v₂ adalah vektor –vektor dalam  ker(T ) , dan misalkan  k adalah sembarang skalar . Maka 

T (v₁ + v₂ ) =T(v₁) + T( v₂)

                     =0 + 0 = 0

Sehingga v₁ + v₂  berada dalam  ker(T ) . juga ,

T (kv₁ ) =kT(v₁) = k0 = 0

Sehingga kv₁  berada dalam  ker(T ) .

(b)   Misalkan W_{1 +}   W₂  adalah vektor dalam jangkauan  T  . untuk membuktikan bagian ini  maka harus kita perlihatkan bahwa W_{1 +}W₂  dan kw₁   berada dalam jangkauan T untuk sebarang skalar  k : yakni , ;.Kita harus mencari vektor a dan b di V sehingga T(a

= W_{1 +}W₂  dan  T(b)  = KW₁

Karena T(a₁) =  W₁ dan   W₂ berada dalam jangkauan T . maka ada vektor a₁ dan a₂ dalam V sehingga T(a₁) =  W₁ dan T(a₂) =   W₂ . misalkan a = a₁ dan b = ka₁ . maka

T(a)  = T(a₁ + a₂ ) =T (a₁) + T (a₂) = w₁ + w₂

Dan  T ( b) = T ( ka₁ ) = Kt (a₁) = kw₁

Contoh 15

 Tinjaulah basis S = {v₁ , v₂ , v₃ } untuk R³ , di mana v₁ =( 1,1,1 ) , v₂ =( 1,1,0 ) , v₃ =( 1, 0,0) dan misalkan  T:R³       R² adalah transformasi linear sehingga 

T (v₁) = ( 1,0 )    T (v₂) = ( 2, -1)      T (v₃) = ( 4, 3 )

Carilah rumus untuk {x₁ , x₂ , x₃ ) : kemudian gunakan rumus ini untuk menghitung T ( 2, -3 ,5 ) .

Pemecahan . pertama kita nyatakan x = {x₁ , x₂ , x₃ ) sehingga kombinasi linear dari

 _{v1 =( 1,1,1 ) , v2 =( 1,1,0 ) , dan v3 =( 1, 0,0) .jika kita tulis}

(x₁ , x₂ , x₃ ) = k₁( 1,1,1 ) + k₂( 1,1,0 ) + k₃ ( 1, 0,0)

Kemudian menyamakan komponen – komponen yang bersesuaian, kita peroleh

K₁ + K₂ + K₃  = X₁

K₁ + K₂           = X₂

K₁                         = X₃

Yang menghasilkan  k₁ = x_{3  ,} k₂ = x₂ – x₃ , k₃ = x₁ – x₂ sehingga

(x₁ , x₂ , x₃ ) = x₃( 1,1,1 ) + ( x₂ - x₃ )( 1,1,0 ) +( x₁ – x₂ ) ( 1, 0,0)

= x₃ v₁ + ( x₂ – x₃ )v₂ + ( x₁- x₂ )v₃

Jadi T (x₁ , x₂ , x₃ ) = x₃ T( v₁ ) + ( x₂ - x₃ )T ( v₂) +( x₁ – x₂ ) T (v₃)

                             = x₃ ( 1,0 ) + ( x₂ - x₃ ) ( 2, -1) +( x₁ – x₂ )  (4 ,3)      

                             =  ( 4x₁ – 2x₂ – x₃ , 3x₁ – 4x₂ + x₃ )

Dari rumus ini kita peroleh  

T ( 2, -3 ,5 ) = ( 9 , 23)

Definisi , . jika  Jika T:V          W adalah transformasi linear , maka : dimensi jangkauan dari  T dinamakan rank T , dan dimensi kernel dinamakan  nulitas ( nullity) T .

Contoh 16

Misalkan T : Rⁿ          R² adalah perputaran dari R² melalui sudut  /4 . jelaslah bahwa jangkauan T secara geometris semuanya adalah R² dan kernel T adalah { 0} . maka , T mempunyai rank = 2 dan nulitas = 0.

Contoh 17

Misalkan T : Rⁿ          R² adalah perkalian oleh sebuah maktriks A yang berukuran m x n . pada contoh 14 kita amati bahwa

Jangkauan T adalah ruang kolom dari A

Kernel T adalah ruang pemecahan Ax = 0

Jadi , berikutnya bahwa

Rank ( T )  dim ( ruang kolom A ) = rank ( A)

Nulitas ( T) = dim ( ruang pemecahan Ax = 0 ) 

Teorema 3. (Teorema Dimensi). Jika T:V W adalah transformasi linear  dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka

                                         (rank dari T) + (nulitas dari T) = n                                                 (5.4)

Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya.

Dalam kasus khusus dima V = Rⁿ   W = R^m , dan T : V  W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n , berikutnya dari (5.4) dan Contoh 17 bahwa 
 rank (A) + dim(ruang pemecahan Ax = 0) = n

Jadi, kita punyai teorema berikut.

Teorema 4. Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari AX = 0 adalah

n – rank(A)

Jelasnya, teorema ini menyatakan bahwa dimensi ruang pemecahan Ax = 0 sama dengan jumlah kolom A kurang rank A.

PERNYATAAN. Karena sistem linear homogen Ax = 0 harus konsisten, berikutnya dari Teorema 18 bagian 4.6 bahwa rank  matriks  A sama dengan jumlah parameter dalam pemecahan Ax = 0.  Dengan menggabungkan hasil ini dengan Teorema 4, selanjutnya dengan mengacu pada ruang pemecahan Ax = 0 akan sama dengan jumlah kolom A kurang jumlah parameter dalam pemecahan Ax = 0.

Contoh 18

Pada Contoh 37 dari Bagian 4.5 kita memperlihatkan bahwa sistem homogen

                                                2x₁  + 2x₂ – x₃  + x₅       = 0

                                                -x₁ – x₂ + 2x₃ – 3x₄ + x₅ = 0

                                                x₁  +  x₂  – 2x₃ – x₅        = 0

                                                            x₃ +x₄  + x₅        = 0

mempumyai ruang pemecahan berdimensi dua , dengan memecahkan sistem tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefesien

A = 3

Mempunyai lima kolom, maka jelaslah dari Teorema 4 bahwa rank dari A harus memenuhi

2 = 5 – rank (A)

Sehingga rank (A) = 3  , Anda dapat memeriksa hasil ini dengan mereduksi A pada bentuk eselon baris dan dengan memperlihatkan bahwa matriks yang di hasilkan mempunyai tiga baris tak nol.