Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska
tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau
Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari
premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis,
sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A → B (Premis)
(2) C → B (premis)
(3) (A V C) → B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ʌ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
Contoh tautologi dengan
menggunakan tabel kebenaran:
1.
(p ʌ ~q) p
Pembahasan:
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan
alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan
perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu
benar.
2.
[(p q) ʌ
p] p q
Pembahasan:
p
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1) (2) (3) (4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan
majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p
q) ʌ p] p q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:
a.
(p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q
~p v ~q v q
~p v T
T
.............(Tautologi)[3][3][3]
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk
dari (p ʌ q) q
adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan
majemuk (p ʌ q) q yaitu:
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q) q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi.
b.
q (p v q)
penyelesaian:
q (p v q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T
............(Tautologi)
B. KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk
pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah
pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut
kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara
kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan
sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh dari Kontradiksi:
1.
(A ʌ ~A)
Pembahasan:
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan
majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
2.
P ʌ (~p ʌ
q)
Pembahasan:
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan
alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
ALJABAR LOGIKA
3.1 Pernyataan / Proposisi
Pernyataan adalah suatu kalimat yang
mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya.
Contoh 1 :
p = Tadi malam BBM mulai naik
(memiliki nilai kebenaran benar/true)
q = 23 = 32 (memiliki nilai
kebenaran salah/false)
Contoh 2 :
Berikut ini adalah beberapa contoh
proposisi :
a. 1 + 2 = 3
b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY
c. 6 adalah bilangan prima
d. Warna bendera RI adalah biru dan
merah Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui
benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan
(d) bernilai salah.
Contoh 3 :
Berikut ini adalah beberapa contoh
kalimat yang bukan merupakan proposisi :
a. Di manakah letak pulau seribu?
b. Ersa lebih tua dari Arsi
c. x + y = 5
d. 2 mencintai 3 Kalimat (a) jelas
bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan
nilai kebenarannya. Kalimat (b) juga bukan proposisi karena ada banyak orang
dibumi ini yang bernama Ersa dan Arsi. Kalimat tersebut tidak memberikan
keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak diketahui kebenaran bahwa Ersa
lebih tua dari Arsi.
Dalam kalimat (c), nilai kebenaran
kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x =1 dan y = 4, maka
kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar. Tetapi jika x = 4 dan y = 5, maka
kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah. Jadi secara umum tidak dapat
ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah. Kalimat (e), walaupun
mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena relasi
mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut tidak
ditentukan benar atau salahnya. Suatu pernyataan yang selalu benar dalam semua
keadaan dinamakan tautologi , sedangkan pernyataan yang selalu salah dalam
semua keadaan dinamakan kontradiksi.
NEGASI INGKARAN
Suatu kalimat akan mempunyai niali
kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika
nilai p bernilai benar maka bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka
akan bernilai benar.
Atomic/tunggal
Majemuk/compound
- konjungsi
- disjungsi
- implikasi/kondisional
- biimplikasi
Ø
Konjungsi
Kalimat (dibaca “ p dan q”) akan
bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya bernilai
salah (apalagi keduanya) bernilai salah, maka bernilai salah. Tabel kebenaran
dari Konjungsi dapat dilihat pada Tabel 3.1 dibawah ini :
p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Tabel 3.1
Ø
Disjungsi Kalimat (dibaca “p atau q”) akan bernilai salah jika bail p maupun q
bernilai salah. Secara umum, yang dimaksud dengan penghubung “atau” adalah
inclusive OR (kedua penyusun kalimat boleh bernilai benar). Tabel kebenaran
dari disjungsi dapat dilihat dibawah ini :
p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Tabel 3.2
Contoh :
1. Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang
uang atau barang
2. Saya akan melihat pertandingan
itu di TV atau di lapangan
Dalam kalimat (1), keseluruhan
kalimat tetap bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya benar. Jadi, tamu
diperbolehkan menyumbang uang sekaligus barang. Sebaliknya, dalam kalimat (2),
hanya salah satu diantara kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar, tetapi
tidak keduanya. Keseluruhan kalimat akan bernilai jika saya melihat
pertandingan itu di TV saja, atau di lapangan saja, tetapi tidak keduanya. Kata
penghubung “atau (or)” dalam kalimat (1) disebut Inclusive OR, sedangkan dalam
(b) disebut Exclusive OR.
Ø Equivalen
Dua kalimat disebut ekuivalen ( )
bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua
substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Atau dengan kata
lain, jika hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang “selalu” sama.
Negasi dari konjungsi dan disjungsi
p q
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
Tabel 3.3
Kesimpulan :
Ø
Implikasi
Kalimat akan bernilai salah kalau p
benar dan q salah. p disebut hipotesis (anteseden) dan q disebut konklusi
(konsekuen). Kalimat berbentuk disebut kalimat berkondisi karena kebenaran
kalimat q tergantung pada kebenaran kalimat p. Tabel kebenaran untuk implikasi
adalah :
p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Tabel 3.4
Contoh :
Apabila ada seorang pria yang
berkata “jika besok cerah, maka aku akan datang kerumahmu”.
p = “Besok cuaca cerah”
q = “aku akan datang ke rumahmu”.
Jika p maupun q keduanya benar, maka
akan bernilai benar. Jika p salah (ternyata keesokannya hujan lebat atau cuaca
tidak cerah), maka pria tersebut terbebas dari janjinya karena janji tersebut
bersyarat, yaitu kalau besok cerah. Jadi, baik pria tersebut datang (berarti q
bernilai benar) maupun tidak datang (q bernilai salah), ia tidak akan
disalahkan (bernilai benar). Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan apabila
keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) apabila keesokan harinya cuaca
cerah (p bernilai benar) tetapi ia tidak datang (q salah).
Pq
1 1 0 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
Tabel 3.5
Ø
Biimplikasi
dibaca p jika dan hanya jika q. .
bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah. Tabel kebenaran
untuk adalah :
p q
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
Tabel 3.6
jika :
Maka :
3.3 Membuat Kesimpulan
Ø
Modus Ponens
Secara simbolik, modus ponens dapat
dinyatakan sebagai berikut :
q (T)
Atau dapat ditulis .
Implikasi “bila p maka q” yang disumsikan
bernilai benar. Apabila selanjutnya diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya
implikasi benar, maka q juga harus bernilai benar. Inferensi seperti itu
disebut Modus Ponens. Tabel kebenaran untuk adalah :
p Q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Tabel 3.7
Ø
Modus Tollens Secara simbolik, bentuk inferensi Modus Tollens adalah sebagai
berikut :
Contoh : Jika Zeus seorang manusia,
maka ia dapat mati Zeus tidak dapat mati Zeus bukan seorang manusia
Ø
Sylogisme
Tidak ada komentar:
Posting Komentar